Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+2x﹣（a≠0）与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B．

（1）①请直接写出点A的坐标　 　；

②当抛物线的对称轴为直线x＝﹣4时，请直接写出a＝　 　；

（2）若点B为（3，0），当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5，且am＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣，求m的值；

（3）已知点C（﹣5，﹣3）和点D（5，1），若抛物线与线段CD有两个不同的交点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）；（3）a＞或a＜﹣3．

【解析】

（1）①令x＝0，由抛物线的解析式求出y的值，便可得A点坐标；

②根据抛物线的对称轴公式列出a的方程，便可求出a的值；

（2）把B点坐标代入抛物线的解析式，便可求得a的值，再结合已知条件am＜0，得m的取值范围，再根据二次函数的性质结合条件当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5时，抛物线最低点的纵坐标为,列出m的方程，求得m的值，进而得出m的准确值；

（3）用待定系数法求出CD的解析式，再求出抛物线的对称轴，进而分两种情况：当a＞0时，抛物线的顶点在y轴左边，要使抛物线与线段CD有两个不同的交点，则C、D两必须在抛物线上方，顶点在CD下方，根据这一条件列出a不等式组，进行解答；当a＜0时，抛物线的顶点在y轴的右边，要使抛物线与线段CD有两个不同的交点，则C、D两必须在抛物线下方，抛物线的顶点必须在CD上方，据此列出a的不等式组进行解答．

（1）①令x＝0，得，

∴,

故答案为：；

②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣4，

∴ ，

∴a＝，

故答案为：；

（2）∵点B为（3，0），

∴9a+6﹣＝0，

∴a＝﹣，

∴抛物线的解析式为：，

∴对称轴为x＝﹣2，

∵am＜0，

∴m＞0，

∴m2+2m+3＞3＞﹣2，

∵当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5时，y随x的增大而减小，

∵当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5，且am＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣，

∴ ，

整理得（m2+2m+5）2﹣4（m2+2m+5）﹣12＝0，

解得，m2+2m+5＝6，或m2+2m+5＝﹣2（△＜0，无解），

∴，

∵m＞0，

∴；

（3）设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），

∵点C（﹣5，﹣3）和点D（5，1），

∴ ，

∴，

∴CD的解析式为，

∵y＝ax2+2x﹣（a≠0）

∴对称轴为，

①当a＞0时，，则抛物线的顶点在y轴左侧，

∵抛物线与线段CD有两个不同的交点，

∴，

∴；

②当a＜0时，，则抛物线的顶点在y轴左侧，

∵抛物线与线段CD有两个不同的交点，

∴，

∴a＜﹣3，

综上，或a＜﹣3．