Question

【题目】如图，的顶点坐标分别为，，，把沿直线翻折，点的对应点为，抛物线经过点，顶点在直线上．

证明四边形是菱形，并求点的坐标；

求抛物线的对称轴和函数表达式；

在抛物线上是否存在点，使得与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，点的坐标是；（2）对称轴为直线，抛物线的函数表达式为；存在．理由见解析.

【解析】

（1）根据两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质可得，根据菱形的判定和性质可得点的坐标；

（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设的坐标为，直线的解析式为，根据待定系数法可求的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式；

（3）分点在的上面和点在的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点的坐标.

证明：∵，，，

∴，，

∴，

由翻折可得，，，

∴，

∴四边形是菱形，

∴，

∵，

∴点的坐标是；

∵，

∴对称轴为直线．

设的坐标为，直线的解析式为，

∴，

解得．

∴．

∵点在直线上，

∴．

又∵抛物线经过点和，

∴，

解得．

∴抛物线的函数表达式为；

存在．

理由如下：由题意可知，在抛物线上，且到，所在直线距离相等，所以在二次函数与、所在的直线的夹角平分线的交点上，而、所在的直线的夹角平分线有两条：一条是所在的直线，解析式为，另外一条是过且与平行的直线，解析式为，

联立，

解得：（舍）或，

联立，

解得：（舍）或

所以当与的面积相等，点的坐标为，．