题目内容
【题目】(1)如图①,画一条平行于BC的直线，使其将△ABC分成两部分，且所分三角形与梯形面积比为1:3;
(2)如图②，△ABC中AB=4，AC=3，BC=6，D是△ABC中AC边上的点，AD=2，过点D画一条直线l将△ABC分成两部分，l与△ABC另一边的交点为点P,使其所分的一个三角形与△ABC相似，并求出DP的长;
(3)如图③所示，在等腰△ABC中，CA=CB=10，AB=12.在△ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE.EF在边AB上，点P.N分别在边CB.CA上，若较大正方形的边长为a,请用含a的代数式表示较小正方形的边长.
【答案】（1）见解析；(2)见解析，PD=4；（3）小正方形边长为
.
【解析】
（1）直线MN将三角形与梯形面积比为1:3，则△AMN与△ABC的面积比是1:4，则相似比是1:2，所以过AB，AC的中点M,N作BC的平行线即可；
（2）先求到CD=1，再分DP// BC，DP//AB，∠CDP=∠B, ∠ADP=∠B四种情况讨论，可得到DP的长；
（3）设正方形EFPH的边长为b,过点C作CG⊥AB于点G，证得△ADN∽△AGC，△BFP∽△BGC，得到
，
，再根据AD+DE +EF +FB=AB=12，所以
，从而得到小正方形边长为.
解: (1)如图所示:直线MN即为所求，M.N分别为AB.AC中点
(2)∵AC=3, AD=2，
∴ CD=1
①当DP// BC时，△APD∽△ABC
，即
∴ PD=4
②当DP//AB时，△CDP∽△CAB
，即
③当∠CDP=∠B时，△CDP∽△CBA
，即
∴ 
④当∠ADP=∠B时，，则△ADP∽△ABC，
，即
∴ 
(3)设正方形EFPH的边长为b,过点C作CG⊥AB于点G，
∵CA=CB=10， AB=12
∴ AG=BG=6
在Rt△AGC中，由勾股定理，得:
由题意得: △ADN∽△AGC，△BFP∽△BGC
，
即
，
∴ ，
∵AD+DE +EF +FB=12
∴，即a+b=
∴
综上所述，小正方形边长为
