Question

如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．
（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由1知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．
解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，（1分）
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．（2分）
∴EH=GF．（1分）
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．（1分）
∴GH=EF．（1分）
∴四边形EFGH是平行四边形．（1分）

（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
设∠A=α，则∠D=180°-α．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．（1分）∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．（1分）
∴∠DHG=∠DGH=．（1分）
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．（1分）
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．（1分）

解法二：连接BD，AC．
∵AH=AE，AD=AB，
∴，∴HE∥BD，（1分）
同理可证，GH∥AC，（1分）
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，（1分）
∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．（1分）
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．（1分）
点评：本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定求解．