题目内容
如图1，D是△ABC的边BC上一点，AH⊥BC于H，S△ABD=
BD•AH，S△ADC=
DC•AH，则
=
，因此，利用三角形的面积比可以来表示两条线段的比，甚至用三角形面积的比来证明与线段比有关的命题．
请解决下列问题：
已知：如图2，直线l与△ABC的边AB、AC交于D、F，与BC的延长线交于E，连接BF、AE．
（1）求证：
=
；
（2）求证：
•
•
=1．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| S△ABD |
| S△ACD |
| BD |
| DC |
请解决下列问题：
已知：如图2，直线l与△ABC的边AB、AC交于D、F，与BC的延长线交于E，连接BF、AE．
（1）求证：
| AD |
| DB |
| S△AEF |
| S△BEF |
（2）求证：
| AD |
| DB |
| BE |
| EC |
| CF |
| FA |
分析：（1）过A、B分别作DE的垂线段AM、BN，根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出
=
，再证明△ADM∽△BDN，由相似三角形对应边成比例得出
=
，进而证明出
=
；
（2）根据同高的两个三角形面积之比等于底之比，得出
=
，
=
，又由（1）得出
=
，将这三个式子相乘，即可证明出结论．
| S△AEF |
| S△BEF |
| AM |
| BN |
| AD |
| BD |
| AM |
| BN |
| AD |
| BD |
| S△AEF |
| S△BEF |
（2）根据同高的两个三角形面积之比等于底之比，得出
| S△BEF |
| S△ECF |
| BE |
| EC |
| S△CEF |
| S△FEA |
| CF |
| FA |
| S△AEF |
| S△BEF |
| AD |
| BD |
解答：
证明：（1）过A、B分别作DE的垂线段AM、BN，如图．
∵S△AEF=
EF•AM，S△BEF=
EF•BN，
∴
=
．
∵在△ADM与△BDN中，
，
∴△ADM∽△BDN，
∴
=
，
∴
=
；
（2）设F到BE的距离为h，则
=
=
，
同理，得到
=
，
又由（1）得出
=
，
将这三个式子相乘，得
•
•
=
•
•
=1．
即
•
•
=1．
证明：（1）过A、B分别作DE的垂线段AM、BN，如图．∵S△AEF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| S△AEF |
| S△BEF |
| AM |
| BN |
∵在△ADM与△BDN中，
|
∴△ADM∽△BDN，
∴
| AD |
| BD |
| AM |
| BN |
∴
| AD |
| BD |
| S△AEF |
| S△BEF |
（2）设F到BE的距离为h，则
| S△BEF |
| S△ECF |
| ||
|
| BE |
| EC |
同理，得到
| S△CEF |
| S△FEA |
| CF |
| FA |
又由（1）得出
| S△AEF |
| S△BEF |
| AD |
| BD |
将这三个式子相乘，得
| AD |
| BD |
| BE |
| EC |
| CF |
| FA |
| S△AEF |
| S△BEF |
| S△BEF |
| S△ECF |
| S△CEF |
| S△FEA |
即
| AD |
| BD |
| BE |
| EC |
| CF |
| FA |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用三角形的面积比表示两条线段的比，同时考查了学生的理解能力及知识的迁移能力，难度适中．（1）问分别作出△AEF与△BEF中EF边上的高是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．
（2012•利川市二模）如图，点P是△ABC三条角平分线的交点，若∠BPC=108°，则下列结论中正确的是（ ）
如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（ ）