Question

如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．

Answer 1

分析：四边形ADBC可分作两部分：
①△ABC，由圆周角定理知∠ACB=90°，Rt△ACB中，根据勾股定理即可求得直角边BC的长，进而可根据直角三角形的面积计算方法求出△ABC的面积；
②△ABD，由于CD平分∠ACB，则弧AD=弧BD，由此可证得△ABD是等腰Rt△，即可根据斜边的长求出两条直角边的长，进而可得到△ABD的面积；
上述两个三角形的面积和即为四边形ADBC的面积，由此得解．

解答：解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，∴BC=

AB2-AC2

=

62-22

=4

2

；
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD；
∴

AD

=

DB

，
∴AD=BD；
∴在Rt△ABD中，AD=BD=3

2

，AB=6，
∴四边形ADBC的面积=S_△ABC+S_△ABD=

1

2

AC•BC+

1

2

AD•BD
=

1

2

×2×4

2

+

1

2

×3

2

×3

2

=9+4

2

．
故四边形ADBC的面积是9+4

2

．

点评：此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合应用能力．