Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的函数关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q+1与x轴交于A、B两点（A、B不重合），且以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求p，q的值．

Answer 1

分析：（1）把x=2直接代入一元二次方程x²+px+q+1=0中即可得到q关于p的函数关系式；
（2）利用（1）的结论证明抛物线y=x²+px+q的判别式是正数就可以了；
（3）首先求出方程x²+px+q+1=0的两根，然后用p表示AB的长度，表示抛物线顶点坐标，再利用以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点可以得到关于p的方程，解方程即可求出p．

解答：解：（1）由题意得2²+2p+q+1=0，即q=-2p-5；

证明：（2）∵一元二次方程x²+px+q=0的判别式△=p²-4q，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，
∴一元二次方程x²+px+q=0有两个不相等的实根，
∴抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；

解：（3）由题意，x²+px-2p-4=0，
解此方程得x₁=2，x₂=-p-2 （p≠-4），
∴AB=p+4（p＞-4）或AB=-P-4（P＜-4），
∵y=x²+px-2p-4的顶点坐标是(-

p

2

，-

(p+4)2

4

)．
以AB为直径的圆经过顶点，

(p+4)2

4

=

p+4

2

或

(p+4)2

4

=-

p+4

2

．
解得p=-2或p=-6，
∴

p=-2 q=-1

或

p=-6 q=7

．

点评：此题比较难，综合性比较强，主要利用了抛物线与x轴交点情况与判别式的关系解决问题，也利用了圆的知识来确定待定系数．