Question

（2010•郴州）如图（1），抛物线y=x²+x-4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C．
（1）求点A的坐标；
（2）当b=0时（如图（2）），△ABE与△ACE的面积大小关系如何？当b＞-4时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）知道抛物线的解析式，要求与y轴的交点，令x=0就能求得．
（2）当b=0时，直线为y=x，联立两方程式解得交点坐标，由三角形面积公式分别求出两三角形的面积．当b＞-4时，仍然联立方程解坐标，作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，解得BF和CG的值，再由面积公式求面积值．
（3）由BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，可证△BEF≌△CEG，可知BE=CE，即E为BC的中点，当OE=CE时，△OBC为直角三角形，解三角形得到答案．
解答：解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，-4），

（2）当b=0时，直线为y=x，由，
解得，．
∴B、C的坐标分别为（-2，-2），（2，2），，
∴S_△ABE=S_△ACE．
当b＞-4时，仍有S_△ABE=S_△ACE成立．理由如下
由，
解得，．
故B、C的坐标分别为（-，-+b），（，+b），
作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，则，
而△ABE和△ACE是同底的两个三角形，
∴S_△ABE=S_△ACE．

（3）存在这样的b，
∵BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，
∴△BEF≌△CEG，
∴BE=CE，
即E为BC的中点，
∴当OE=CE时，OE=BC，此时△OBC为直角三角形．
∵，
∴，而OE=|b|，
∴，
解得b₁=4，b₂=-2，
∴当b=4或-2时，△OBC为直角三角形．
点评：本题主要考查二次函数的应用，是一道综合性很强的习题，做题需要细心．