Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD₁E₁，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD₁与CE₁的交点为P．

（1）如图1，当α=90°时，线段BD₁的长等于        ，线段CE₁的长等于        ；（直接填写结果）

（2）如图2，当α=135°时，求证：BD₁= CE₁，且BD₁⊥CE₁；

（3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为        ；②点P到AB所在直线的距离的最大值为        ．（直接填写结果）

 

Answer 1

解：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，

∴AE=AD=2，

∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD₁E₁，设旋转角为α（0＜α≤180°），

∴当α=90°时，AE₁=2，∠E₁AE=90°，

∴BD₁==2，E₁C==2；

故答案为：2，2；

（2）证明：当α=135°时，如图2，

∵Rt△AD₁E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，

∴AD₁=AE₁，∠D₁AB=∠E₁AC=135°，

在△D₁AB和△E₁AC中

∵，

∴△D₁AB≌△E₁AC（SAS），

∴BD₁=CE₁，且∠D₁BA=∠E₁CA，

记直线BD₁与AC交于点F，

∴∠BFA=∠CFP，

∴∠CPF=∠FAB=90°，

∴BD₁⊥CE₁；

（3）解：①∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中点为M，

∴PM=BC，

∴PM==2，

故答案为：2；

②如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，

∵D₁，E₁在以A为圆心，AD为半径的圆上，

当BD₁所在直线与⊙A相切时，直线BD₁与CE₁的交点P到直线AB的距离最大，

此时四边形AD₁PE₁是正方形，PD₁=2，则BD₁==2，

故∠ABP=30°，

则PB=2+2，

故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．

故答案为：1+．