Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．

（1）求证：△ABC为等腰三角形；

（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线上，连接FM，∠BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF中点，连接MH，当GN=GD时，探究线段CD、FM、MH之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：如图1，作∠BAP=∠DAE=β，AP交BD于P，

设∠CBD=α，∠CAD=β，

∵∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠APE=∠BAP+∠ABD，

∴∠APE=∠ADE，AP=AD．

∵AC⊥BD

∴∠PAE=∠DAE=β，

∴∠PAD=2β，∠BAD=3β．

∵∠BAD=3∠CBD，

∴3β=3α，β=α．

∵AC⊥BD，

∴∠ACB=90°﹣∠CBE=90°﹣α=90°﹣β．

∵∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=90°﹣β，

∴∠ACB=∠ABC，

∴△ABC为等腰三角形；

（2）2MH=FM+CD．

证明：如图2，

由（1）知AP=AD，AB=AC，∠BAP=∠CAD=β，

∴△ABP∽△ACD，

∴∠ABE=∠ACD．

∵AC⊥BD，

∴∠GDN=90°﹣β，

∵GN=GD，

∴∠GND=∠GDN=90°﹣β，

∴∠NGD=180°﹣∠GND﹣∠GDN=2β．

∴∠AGF=∠NGD=2β．

∴∠AFG=∠BAD﹣∠AGF=3β﹣2β=β．

∵FN平分∠BFM，

∴∠NFM=∠AFG=β，

∴FM∥AE，

∴∠FMN=90°．

∵H为BF的中点，

∴BF=2MH．

在FB上截取FR=FM，连接RM，

∴∠FRM=∠FMR=90°﹣β．

∵∠ABC=90°﹣β，

∴∠FRM=∠ABC，

∴RM∥BC，

∴∠CBD=∠RMB．

∵∠CAD=∠CBD=β，

∴∠RMB=∠CAD．

∵∠RBM=∠ACD，

∴△RMB∽△DAC，

∴，

∴BR=CD．

∵BR=BF﹣FR，

∴FB﹣FM=BR=CD，

FB=FM+CD．

∴2MH=FM+CD．