Question

如图，已知正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，点M在线段BF上（不与点B重合），连接EM，将线段EM绕点M顺时针旋转90°得MN，连接FN．
（1）特别地，当点M为线段BF的中点时，通过观察、测量、推理等，
猜想：∠NFC=

45°

°，

NF

BM

=

2

；
（2）一般地，当M为线段BF上任一点（不与点B重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN交CD于点G，求

NG

FM

的值．

Answer 1

分析：（1）过点N作NQ⊥BC于Q，由条件可以证明△EBM≌△MQN，可以得出BE=MQ，BM=NQ，由四边形ABCD是正方形，就有AB=BC，由点E、F分别为AB、BC的中点，就有BE=BF，由点M为线段BF的中点，就有MF=MB=

1

2

BE=

1

2

MQ，有NQ=

1

2

MQ，有FQ=NQ，得出∠NFC=45°；由勾股定理可以求出NF=

2

NQ，得出NF=

2

BM，就可以求出其结果．
（2）仍然成立．过点N作NP⊥BC于P，先由条件证明△EBM≌△MPN，得出BM=PN，EB=MP，从而证明PN=FP，从而可以得出结论∠NFC=45°，

NF

BM

=

2

．
（3）由（2）得∠NFC=45°，可知△FCG是等腰直角三角形，就有FC=GC，FG=

2

FC=

2

BF，又由（2）得NF=

2

BM，就有NG=FG-NF=

2

BF-

2

BM=

2

MF，即

NG

FM

=

2

．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，
∵点E、F分别为AB、BC的中点，
∴BE=

1

2

AB，BF=

1

2

BC，

∴BE=BF，
∵∠EMN=90°，
∴∠EMB+∠NMQ=90°，
∵∠BEM+∠EMB=90°，
∴∠BEM=∠NMQ．
过点N作NQ⊥BC于Q，
∴∠NQM=90°，
∴∠NQM=∠EMN，
∴△EBM≌△MQN（ASA），
∴BE=MQ，BM=NQ，
∵点M为线段BF的中点，
∴MF=MB=

1

2

BE=

1

2

MQ=FQ，
∴FQ=NQ．
∴∠NFC=45°．
∴NF=

2

FQ=

2

BM，即

NF

BM

=

2

．
故答案为：45°，

2

．
（2）答：仍然成立
证明：过点N作NP⊥BC于P，∴∠B=∠MPN=90°
∵∠BME+∠BEM=90°，∠BME+∠NMP=90°
∴∠BEM=∠NMP
∵EM=MN，
∴△EBM≌△MPN（AAS），
∴BM=PN，EB=MP
∵BF=EB，
∴BF=MP．
∴BM=FP．
∴PN=FP．
∴∠NFP=45°．

∴NF=

2

FP=

2

BM，即

NF

BM

=

2

．
（3）解：由（2）得∠NFC=45°，
∴△FCG是等腰直角三角形
∴FC=GC，FG=

2

FC=

2

BF，
又由（2）得NF=

2

BM，
故NG=FG-NF=

2

BF-

2

BM=

2

MF，即

NG

FM

=

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，在解答的过程中正方形的性质的运用时重点．