Question

如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，-

3

），且在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标即可得出抛物线的对称轴方程，结合AB的长度即可求出A、B的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式易求得D点坐标，可将四边形DACB的面积分成△DAB和△ABC两部分来求；
（3）此题可通过构建相似三角形求解，过P作PF⊥x轴于F，设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，若∠PAC被x轴平分，那么△APF∽△ACE，根据相似三角形所得到的比例线段即可求出P点的坐标．

解答： 解：
（1）根据题意，得：OE=4，AE=BE=3
∴OA=1，OB=7即A（1，0）、B（7，0）
设y=a（x-1）（x-7）
∵x=4，y=-

3

，∴a=

3

9

所求解析式为y=

3

9

（x-1）（x-7）（或y=

3

9

x²-

8 3

9

x+

7 3

9

）

（2）连接DA、AC、BC、DB
当x=0时，y=

7 3

9

，∴D（0，

7 3

9

）
∴S_{四边形DACB}=S_△DAB+S_△ACB=

1

2

×6×

7 3

9

+

1

2

×6×

3

=

16

3

3

（3）假设存在点P（x，y），使x轴平分∠PAC，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F
则△APF∽△ACE
∴

PF

CE

=

AF

AE

，即：

y

3

=

x-1

3

3（

3

9

x2-

8 3

9

x+

7 3

9

）=

3

(x-1)
∴x²-11x+10=0，x₁=10，x₂=1
当x=10时，y=

3

9

×(10-1)×(10-7)=3

3

当x=1时，y=0（不合题意，舍去）
∴P（10，3

3

）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法以及相似三角形的判定和性质．