Question

在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC．
（1）若BC=1Ocm，试求出△PAO的周长．（不用写过程，直接写出答案）
（2）若AB=AC，∠BAC=110°，试求∠PAO的度数．（不用写过程，直接写出答案）
（3）在（2）中，若无AB=AC的条件，你运能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AP=BP，AO=CO，然后求出△PAO的周长=BC；
（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠B、∠C的度数，再根据等边对等角的性质求出∠BAP，∠CAO，然后进行计算即可得解；
（3）先根据三角形的内角和等于180°求出∠B+∠C，再求出∠BAP+∠CAO，然后求解即可．

解答：解：（1）∵MP，NO分别垂直平分AB，AC，
∴AP=BP，AO=CO，
∴△PAO的周长=AP+PO+AO=BO+PO+OC=BC，
∵BC=1Ocm，
∴△PAO的周长10cm；

（2）∵AB=AC，∠BAC=110°，
∴∠B=∠C=

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（180°-110°）=35°，
∵MP，NO分别垂直平分AB，AC，
∴AP=BP，AO=CO，
∴∠BAP=∠B=35°，∠CAO=∠C=35°，
∴∠PAO=∠BAC-∠BAP-∠CAO=110°-35°-35°=40°；

（3）能．理由如下：
∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°-110°=70°，
∵MP，NO分别垂直平分AB，AC，
∴AP=BP，AO=CO，
∴∠BAP=∠B，∠CAO=∠C，
∴∠PAO=∠BAC-∠BAP-∠CAO=∠BAC-（∠B+∠C）=110°-70°=40°．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键，整体思想的利用也很关键．