Question

如图，过点P（-4，3）作x轴，y轴的垂线，分别交x轴，y轴于A、B两点，交双曲线y=

k

x

（k≥2）于E、F两点．
（1）点E的坐标是

 

，点F的坐标是

 

；（均用含k的式子表示）
（2）判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
（3）记S=S_△PEF-S_△OEF，S是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）把x=-4，y=3分别代入y=

k

x

，求出对应的y值与x值，从而得出点E、点F的坐标；
（2）根据三角函数的定义，在Rt△PAB中与Rt△PEF中，分别求出tan∠PAB与tan∠PEF的值，然后由平行线的判定定理，得出EF与AB的位置关系；
（3）如果分别过点E、F作PF、PE的平行线，交点为P′，则四边形PEP′F是矩形．所求面积S=S_△PEF-S_△OEF=S_△P′EF-S_△OEF=S_△OME+S_{矩形OMP′N}+S_△ONF，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可用含k的代数式表示S，然后根据二次函数的性质及自变量的取值范围确定S的最小值．

解答：解：（1）E（-4，-

k

4

），F（

k

3

，3）；

（2）结论EF∥AB．理由如下：
∵P（-4，3），
∴E（-4，-

k

4

），F（

k

3

，3），
即得PE=3+

k

4

，PF=

k

3

+4，
在Rt△PAB中，tan∠PAB=

PB

PA

=

4

3

，
在Rt△PEF中，tan∠PEF=

PF

PE

=

k 3 +4

3+ k 4

=

4

3

，
∴tan∠PAB=tan∠PEF，
∴∠PAB=∠PEF，
∴EF∥AB；

（3）S有最小值．理由如下：
分别过点E、F作PF、PE的平行线，交点为P′．
由（2）知P′（

k

3

，-

k

4

）
∵四边形PEP′F是矩形，
∴S_△P′EF=S_△PEF，
∴S=S_△PEF-S_△OEF
=S_△P′EF-S_△OEF
=S_△OME+S_{矩形OMP′N}+S_△ONF
=

k

2

+

k2

12

+

k

2

=

k2

12

+k
=

1

12

(k+6)2-3，
又∵k≥2，此时S的值随k值增大而增大，
∴当k=2时，S_最小=

7

3

．
∴S的最小值是

7

3

．
故答案为：（1）（-4，-

k

4

），（

k

3

，3）．

点评：本题主要考查了三角函数的定义，平行线的判定，反比例函数比例系数的几何意义及二次函数最小值的求法等知识点，综合性较强，难度较大．