Question

已知：△ABC中，∠BAC=135°，D、E在BC上（D在B、E之间），且AD=AE，∠DAE=90°，求证：
（1）DE²=2BD•CE，
（2）AB²：AC²=BD：CE．

Answer 1

证明：
（1）∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠B+∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠C，又∠ADB=∠AEC=135°，
∴△ABD∽△CAE，
∴=，即AD•AE=BD•CE，即AD²=BD•CE，
又DE²=AD²+AE²=2AD²，
∴DE²=2BD•CE．

（2）由（1）得==，
===．
分析：可先作出简单的图形，结合图形进行分析；由题中条件可得△ABD∽△CAE，得出AD²=BD•CE，进而再由线段及垂直关系，第一问可求解，第二问在第一问的基础上替换一下即可．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握并运用．