Question

（2013•东城区一模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为

5×（

9

4

）²⁰¹²

．

Answer 1

分析：根据点A、D的坐标求出OA、OD的长，然后利用勾股定理列式求出AD，再求出△AOD和△A₁BA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出A₁B，从而求出第二个正方形的边长A₁C=A₁B₁，同理求出第三个正方形的边长A₂C₁=A₂B₂，根据规律求出第2013个正方形的边长，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：∵点A（1，0），点D（0，2），
∴OA=1，OD=2，
∴AD=

OD2+OA2

=

22+12

=

5

，
∵∠ADO+∠DAO=180°-90°=90°，
∠DAO+∠BAA₁=180°-90°=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
又∵∠AOD=∠ABA₁=90°，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

OD

AB

=

OA

A1B

，
∴A₁B=

OA•AB

OD

=

5

2

，
∴第二个正方形的边长：A₁C=A₁B₁=

5

+

5

2

=

3 5

2

，
同理A₂B₁=

1

2

×

3 5

2

=

3 5

4

，
∴第三个正方形的边长：A₂C₁=A₂B₂=

3 5

2

+

3 5

4

=

9 5

4

=（

3

2

）²

5

，
第四个正方形的边长：

9 5

4

+

9 5

8

=

27 5

8

=（

3

2

）³

5

，
…，
第2013个正方形的边长：(

3

2

)2012×

5

，
∴第2013个正方形的面积为[(

3

2

)2012×

5

]²=5×（

9

4

）²⁰¹²．
故答案为：5×（

9

4

）²⁰¹²．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键．