题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=6，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠BEC=∠ACB，BE的延长
线与边AC相交于点F．（1）求证：BE•CD=BD•BC；
（2）设AD=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AD=3，求线段BF的长．
分析：（1）由AB=AC，得∠ABC=∠ACB，而∠BEC=∠ACB，可得∠BEC=∠ABC，再加上公共角可得△CBE∽△CDB，写出相似比即可．
（2）由△CBE∽△CDB，得∠CBE=∠CDB，得到△FCB∽△CBD，有
=
，而BD=AB-AD=12-x，得到FC=
．而
AF=AC-CF，即可得到y=12-
．
（3）过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC，垂足分别为G、H，则cos∠ACG=
=
，而AD=3，CF=
=4，CG=
BC=3．可计算出CH=1，在Rt△CFH中利用勾股定理计算出FH，再在Rt△BFH利用勾股定理即可计算出BF．
（2）由△CBE∽△CDB，得∠CBE=∠CDB，得到△FCB∽△CBD，有
| FC |
| CB |
| CB |
| BD |
| 36 |
| 12-x |
AF=AC-CF，即可得到y=12-
| 36 |
| 12-x |
（3）过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC，垂足分别为G、H，则cos∠ACG=
| CH |
| CF |
| CG |
| AC |
| 36 |
| 12-3 |
| 1 |
| 2 |
解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BEC=∠ACB，
∴∠BEC=∠ABC．
又∵∠BCE=∠DCB，
∴△CBE∽△CDB．
∴
=
．
即BE•CD=BD•BC．
（2）解：∵△CBE∽△CDB，
∴∠CBE=∠CDB．
又∵∠FCB=∠CBD．
∴△FCB∽△CBD．
∴
=
，
∵BD=AB-AD=12-x，
∴
=
，
∴FC=
．
∵AF=AC-CF，
∴y=12-
，
∴y关于x的函数解析式是y=
，定义域为0＜x≤9．
（3）解：过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC，垂足分别为G、H，如图
∴cos∠ACG=
=
，
∵AD=3，CF=
=4，CG=
BC=3．
∴
=
，
∴CH=1．
∴FH2=CF2-CH2=16-1=15．
∵BH=BC-CH=6-1=5，
∴BF=
=
=2
．
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BEC=∠ACB，
∴∠BEC=∠ABC．
又∵∠BCE=∠DCB，
∴△CBE∽△CDB．
∴
| CB |
| CD |
| BE |
| DB |
即BE•CD=BD•BC．
（2）解：∵△CBE∽△CDB，
∴∠CBE=∠CDB．
又∵∠FCB=∠CBD．
∴△FCB∽△CBD．
∴
| FC |
| CB |
| CB |
| BD |
∵BD=AB-AD=12-x，
∴
| FC |
| 6 |
| 6 |
| 12-x |
∴FC=
| 36 |
| 12-x |
∵AF=AC-CF，
∴y=12-
| 36 |
| 12-x |
∴y关于x的函数解析式是y=
| 108-12x |
| 12-x |
（3）解：过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC，垂足分别为G、H，如图
∴cos∠ACG=
| CH |
| CF |
| CG |
| AC |
∵AD=3，CF=
| 36 |
| 12-3 |
| 1 |
| 2 |
∴
| CH |
| 4 |
| 3 |
| 12 |
∴CH=1．
∴FH2=CF2-CH2=16-1=15．
∵BH=BC-CH=6-1=5，
∴BF=
| BH2+FH2 |
| 25+15 |
| 10 |
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：若两个三角形有两组角对应相等，则这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及三角函数的定义．
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