Question

如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F． 

    (1)求证：OE=OF；

    (2)如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

证明：(1)∵四边形ABCD是正方形                                                 

            ∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA 又∵AM⊥BE，

            ∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE    ∠MEA=∠AFO

            ∴Rt△BOE≌Rt△AOF

            ∴OE=OF

    (2)OE=OF成立

          ∵四边形ABCD是正方形

          ∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA 又∵AM⊥BE，

          ∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE

          又∵∠MBF=∠OBE

          ∴∠F=∠E

          ∴Rt△BOE≌Rt△AOF

          ∴OE=OF