题目内容
如图a，已知△PQR中，∠P=120°，PQ=PR，以QR所在直线为x轴，底边上的高PO所在的直线为y轴建立直角坐标系，函数y=
x2经过PR的中点M．
（1）求点M、P、Q的坐标．
（2）求直线MQ的解析式．
（3）如图b，在y轴的左侧放入一个梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，点C与点Q重合，BC边在x轴上，且BC=8，AD与AB的长恰好是方程x2-8x+16=0的两根，当梯形ABCD以每秒2个单位长度向右平移时，t秒时梯形ABCD与△PQR重合的面积为S，求当0＜t≤10时，S与t的函数关系式．
| ||
| 9 |
（1）求点M、P、Q的坐标．
（2）求直线MQ的解析式．
（3）如图b，在y轴的左侧放入一个梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，点C与点Q重合，BC边在x轴上，且BC=8，AD与AB的长恰好是方程x2-8x+16=0的两根，当梯形ABCD以每秒2个单位长度向右平移时，t秒时梯形ABCD与△PQR重合的面积为S，求当0＜t≤10时，S与t的函数关系式．
分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质求出△POQ是∠OPQ=60°的直角三角形，设OP的长为a，则OQ=OR=
a，然后根据点M是PR的中点表示出点M的坐标，再代入函数解析式求解即可；
（2）根据点MQ的坐标，利用待定系数法列式进行计算即可求解；
（3）先解方程求出AD、AB的长度，然后判断出梯形ABCD是下底底角是60°的等腰梯形，然后分①0＜t≤4时，重叠部分是三角形，②4＜t＜6时，重叠部分是五边形，③6≤t≤10时，重叠部分是三角形，三种情况分别作出图形，进行求解．
| 3 |
（2）根据点MQ的坐标，利用待定系数法列式进行计算即可求解；
（3）先解方程求出AD、AB的长度，然后判断出梯形ABCD是下底底角是60°的等腰梯形，然后分①0＜t≤4时，重叠部分是三角形，②4＜t＜6时，重叠部分是五边形，③6≤t≤10时，重叠部分是三角形，三种情况分别作出图形，进行求解．
解答：解：（1）∵∠P=120°，PQ=PR，
∴∠OPQ=60°，OQ=OR，
设OP=a，
则OQ=OR=OP•tan60°=
a，
∵M是PR的中点，
∴点M的坐标是（
a，
a），
∵函数y=
x2经过点M，
∴
（
a）2=
a，
解得a=2
，
∴点M、P、Q的坐标分别为M（3，
），P（0，2
），Q（-6，0）；
（2）设直线MQ的解析式为y=kx+b，
则
，
解得
，
∴直线MQ的解析式是y=
x+
；
（3）由x2-8x+16=0可得（x-4）2=0，
解得x1=x2=4，
∴AD=AB=4，
过点A作AE∥CD，
则四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=4，AE=DC，
∵BC=8，AB=DC，
∴BE=8-4=4，
∴AB=BE=AE=4，
∴∠B=60°，
∴点A到BC的距离为：4sin60°=4×
=2
，
∴当点B与点Q重合时，点D与点P重合，
①如图1，当0＜t≤4时，重叠部分是三角形，
此时，CQ=2t，
∴
h+
h=CQ，
解得h=
CQ=
t，
∴重叠部分的面积为S=
×CQ•h=
×2t×
t=
t2，
②如图2，当4＜t＜6时，重叠部分是五边形，
此时QB=2t-8，CR=12-2t，
∵∠OPQ=∠OPR=60°，
∴∠PQO=∠PQO=30°，
又∵∠ABC=∠BCD=60°，
∴∠PQO=∠BEQ=30°，∠PRO=∠CFR=30°，
∴BQ=BE，CF=CR，
重叠部分的面积=S△PQR-S△BQE-S△CRF=
×12×2
-
×（2t-8）×
（8-2t）-
×（12-2t）×
（12-2t），
=12
-
（t-4）2-
（6-t）2，
=-2
t2+20
t-40
；
③如图3，当6≤t≤10时，重叠部分是三角形，
此时CR=2t-12，
∴BR=BC-CR=8-（2t-12）=20-2t，
同①可得h=
BR=
（10-t），
∴S=
×（20-2t）×
（10-t），
=
（10-t）2，
=
t2-10
t+50
，
综上所述，S与t的函数关系式为S=
．
∴∠OPQ=60°，OQ=OR，
设OP=a，
则OQ=OR=OP•tan60°=
| 3 |
∵M是PR的中点，
∴点M的坐标是（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵函数y=
| ||
| 9 |
∴
| ||
| 9 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得a=2
| 3 |
∴点M、P、Q的坐标分别为M（3，
| 3 |
| 3 |
（2）设直线MQ的解析式为y=kx+b，
则
|
解得
|
∴直线MQ的解析式是y=
| ||
| 9 |
2
| ||
| 3 |
（3）由x2-8x+16=0可得（x-4）2=0，
解得x1=x2=4，
∴AD=AB=4，
过点A作AE∥CD，
则四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=4，AE=DC，
∵BC=8，AB=DC，
∴BE=8-4=4，
∴AB=BE=AE=4，
∴∠B=60°，
∴点A到BC的距离为：4sin60°=4×
| ||
| 2 |
| 3 |
∴当点B与点Q重合时，点D与点P重合，
①如图1，当0＜t≤4时，重叠部分是三角形，
此时，CQ=2t，
∴
| ||
| 3 |
| 3 |
解得h=
| ||
| 4 |
| ||
| 2 |
∴重叠部分的面积为S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
②如图2，当4＜t＜6时，重叠部分是五边形，
此时QB=2t-8，CR=12-2t，
∵∠OPQ=∠OPR=60°，
∴∠PQO=∠PQO=30°，
又∵∠ABC=∠BCD=60°，
∴∠PQO=∠BEQ=30°，∠PRO=∠CFR=30°，
∴BQ=BE，CF=CR，
重叠部分的面积=S△PQR-S△BQE-S△CRF=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=12
| 3 |
| 3 |
| 3 |
=-2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
③如图3，当6≤t≤10时，重叠部分是三角形，
此时CR=2t-12，
∴BR=BC-CR=8-（2t-12）=20-2t，
同①可得h=
| ||
| 4 |
| ||
| 2 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=
| ||
| 2 |
=
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
综上所述，S与t的函数关系式为S=
|
点评：本题综合考查了二次函数的问题，等腰三角形的性质，待定系数法求直线解析式，梯形的求解，以及动点问题的求解，动点问题一定要注意根据转折点进行分段求解．
练习册系列答案
相关题目
已知△PQR在直角坐标系中的位置如图所示：
经过PR的中点M．
经过PR的中点M．