Question

如图，将边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A₁、A₂、A₃、A₄分别是正方形的中心，则前5个这样的正方形重叠部分的面积和为（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：过点A₁分别作正方形两边的垂线A₁D与A₁E，根据正方形的性质可得A₁D=A₁E，四边形A₁EA₂D是正方形，再根据同角的余角相等求出∠BA₁D=∠CA₁E，然后利用“角边角”证明△A₁BD和△A₁CE全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于正方形面积的

1

4

，同理可求所有阴影部分的面积都是正方形的面积的

1

4

，然后根据正方形的面积列式计算即可．

解答：解：如图，过点A₁分别作正方形两边的垂线A₁D与A₁E，
∵点A₁是正方形的中心，
∴A₁D=A₁E，四边形A₁EA₂D是正方形，
∴∠BA₁D+∠BA₁E=90°，
又∵∠CA₁E+∠BA₁E=90°，
∴∠BA₁D=∠CA₁E，
在△A₁BD和△A₁CE中，

∠BA1D=∠CA1E A1D=A1E ∠A1DB=∠A1EC=90°

，
∴△A₁BD≌△A₁CE（ASA），
∴△A₁BD的面积=△A₁CE的面积，
∴阴影部分的面积=正方形A₁EA₂D的面积=

1

4

×1²=

1

4

，
同理可求，每一个阴影部分的面积都是正方形面积的

1

4

，为

1

4

，
∴重叠部分的面积和=

1

4

×4=1．
故选C．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形求出阴影部分的面积是正方形的面积的

1

4

是解题的关键．