Question

如图，△ABC与△A′B′C′的三边分别为a、b、c与a′、b′、c′，且∠B=∠B′，∠A+∠A′=180°．试证：aa′=bb′+cc′．

Answer 1

证明：作△ABC的外接圆，过C作CD∥AB交圆于D，连接AD和BD，如图所示．
∵∠A+∠A'=180°=∠A+∠D，
∠BCD=∠B=∠B'，
∴∠A'=∠D，∠B'=∠BCD．
∴△A'B'C'∽△DCB．
有==，
即==．
故DC=，DB=．
又AB∥DC，可知BD=AC=b，BC=AD=a．
从而，由托勒密定理，得
AD•BC=AB•DC+AC•BD，
即a²=c•+b•．
故aa'=bb'+cc'．
分析：因∠B=∠B'，∠A+∠A'=180°，由结论联想到构造圆内接四边形加以证明，故作△ABC的外接圆，过C作CD∥AB交圆于D，连接AD和BD，即可求证△A'B'C'∽△DCB，由托勒密定理，得AD•BC=AB•DC+AC•BD，即可解题．
点评：本题考查了相似三角形的证明和相似三角形对应边比值相等的性质，考查了托勒密定理的应用，本题中求证△A'B'C'∽△DCB是解题的关键．