Question

（2013•河南模拟）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，点D落到点D′处．若AB=1，当BC的长为

3

时，△AEF是等边三角形．

Answer 1

分析：根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠AFE=60°，再根据翻折的性质可得AF=FC，∠AFE=∠CFE，然后求出∠AFB=60°，然后求出∠BAF=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AF=2BF，利用勾股定理列式求出BF，AF，最后根据BC=BF+FC代入数据计算即可得解．

解答：解：∵△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，
由翻折的性质得，AF=FC，∠AFE=∠CFE=60°，
∴∠AFB=180°-60°×2=60°，
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠BAF=90°-∠AFB=90°-60°=30°，
∴AF=2BF，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即1²+BF²=4BF²，
解得BF=

3

3

，
∴AF=2BF=

2 3

3

，
∴BC=BF+FC=

3

3

+

2 3

3

=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查了翻折的性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握翻折前后的图形能够重合得到相等的角和边是解题的关键．