Question

如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-4，0）两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得

△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设此抛物线与直线在第二象限交于点D，平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，连接BM、

CM、NC、NB，是否存在的值，使四边形BNCM的面积S最大？若存在，

请求出的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) ∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1,0）B(3,0)两点,

将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：

1+b+c=0

16-4b+c=0

解得：b=-3,c=4

所以，该抛物线的解析式为：y= - x²-3x+4…………（2分）

(2) 存在

可得，C(0,4),  对称轴为直线x= - 1.5……………（1分）

当QC+QA最小时，△QAC的周长就最小

点A、B关于直线x= - 1.5对称，

所以当点B、Q、C在同一直线上时QC+QA最小………（1分）

可得：直线BC的解析式为 y=x+4………………………（1分）

当x= -1.5时，y=2.5

∴在该抛物线的对称轴上存在点Q(-1.5，2.5)，

使得△QAC的周长最小…………………………………（2分）

（3）由题意，M(m,-m²-3m+4)，N（m，-m）

∴ 线段MN= -m²-3m+4-(-m)= -m²-2m+4……………（1分）

∵S_{四边形BNCM}=S_△BMN+ S_△CMN=MN×BO=2MN

∴S= -2m²-4m+8……………（3分）

= -2(m+1)²+10

∴当= -1时（在内），

四边形BNCM的面积S最大。…………（1分）