Question

（1997•安徽）（1）解方程：

x-3 x+1

+

x+1 x-3

=

5

2

（2）解方程组：

x2+y2=5 2x2-3xy-2y2=0

．

Answer 1

分析：（1）设

x-3 x+1

=y，则原方程化为y+

1

y

=

5

2

，即 2y²-5y+2=0，求出y₁=2，y₂=

1

2

，当y₁=2时，

x-3 x+1

=2，当y₂=

1

2

时，

x-3 x+1

=

1

2

，求出x即可；
（2）由②得出y=-2x，x=2y，将y=-2x代入①求出x₁=1，x₂=-1，y₁=-2，y₂=2，把x=2y代入①求出y₃=1，y₄=-1，x₃=2，x₄=-2，即可得出方程组的解．

解答：（1）解：设

x-3 x+1

=y，
则原方程化为y+

1

y

=

5

2

，
去分母得 2y²-5y+2=0，
解得：y₁=2，y₂=

1

2

，
当y₁=2时，

x-3 x+1

=2，

x-3

x+1

=4，
解得：x₁=-

7

3

；
当y₂=

1

2

时，

x-3 x+1

=

1

2

，

x-3

x+1

=

1

4

，
解得：x₂=

13

3

，
经检验x₁=-

7

3

，x₂=

13

3

都是原方程的解．

（2）解：

x2+y2=5① 2x2-3xy-2y2=0②

由②得（2x+y）（x-2y）=0．
2x+y=0，x-2y=0，
y=-2x，x=2y，
将y=-2x代入①得：5x²=5，
解得：x₁=1，x₂=-1，
即y₁=-2，y₂=2，
把x=2y代入①得：5y²=5，
解得：y₃=1，y₄=-1，
即x₃=2，x₄=-2，
即原方程组的解为：

x1=1 y1=-2

，

x2=-1 y2=2

，

x3=2 y3=1

，

x4=-2 y4=-1

．

点评：本题考查了解无理方程和解高次方程组，解无理方程的关键是能把无理方程转化成有理方程，解高次方程组的关键是能把方程组转化成解一元二次方程．