Question

如图1，已知△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/秒，连接PQ，设运动的时间为t秒（0≤t≤4）
（1）求△ABC的面积；
（2）当t为何值时，PQ∥BC；
（3）当t为何值时，△AQP面积为S=6cm²；
（4）如图2，把△AQP翻折，得到四边形AQPQ′能否为菱形？若能，求出菱形的周长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的面积=

1

2

AC•BC计算即可；
（2）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解即可；
（3）过P点作PD⊥AC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，把s=6代入求出此时的时间t即可；
（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．然后根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的周长．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴△ABC的面积=

1

2

AC•BC=

1

2

×8×6=24cm²；

（2）∵BP=2t，
∴AP=10-2t，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ACB，
∴

10-2t

10

=

2t

8

，
解得：t=

20

9

，
∴当t=

20

9

时，PQ∥BC；

（3）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．
则PD∥BC，
则

AP

AB

=

PD

BC

，
即PD=6-

6

5

t，
∵S=

1

2

AQ•PD=

1

2

×2t×（6-

6

5

t），
∴当S=6时，

1

2

×2t×（6-

6

5

t）=6，
解得：t=

5± 5

2

，
∴t=

5± 5

2

时，△AQP面积为S=6cm²；

（4）假设存在时刻t使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t（如图2所示）．
过Q作QM⊥AB于点M，
则AM=5-t，
∵

AM

AQ

=

AC

AB

，
∴

5-t

2t

=

8

10

，
解得：t=

25

13

，
∴当t=

25

13

时，使四边形AQPQ′为菱形，
此时菱形的周长为：4AQ=4×2t=4×2×

25

13

=

200

13

．

点评：本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式、二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度．本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题．