Question

如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，对角线AC、BD相交于O点，AC=BD，∠ACB=∠DBC.

（1）求证：四边形ABCD为等腰梯形.

（2）若E为AB上一点，延长DC至F，使CF=BE，连接EF  交BC于G，请判断G点是否为EF中点，并说明理由. （改编）

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=∠DBC，∴OB=OC，

    ∵AC=BD，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，

    ∵∠DOC=∠OAD+∠ODA=∠OBC+∠OCB，

    ∴2∠OAD=2∠OCB，∴∠OAD=∠OCB，∴AD∥BC
    ∵AD＜BC，∴四边形ABCD为梯形．（2分）

    在△ABC和△DCB中：AC=BD，∠ACB=∠DBC，CB=BC．

    ∴△ABC≌△DCB，∴AB=CD，（2分）∴四边形ABCD为等腰梯形．（1分）

（2）解：点G是EF中点．（1分）理由：  

    过E作EH∥CD交BC于H．∴∠EHB=∠DCB，∠EHG=∠GCF，
   ∵梯形ABCD为等腰梯形，∴∠EBH=∠DCB，

   ∴∠EBH=∠EHB，∴EB=EH，（2分）

   ∵EB=CF，∴EH=CF，

   在△EHG和△FGC中：∠EHG=∠FCG，∠EGH=∠FGC，EH=CF，

   ∴△EHG≌△FGC，∴EG=FG即G为EF中点．（2分）