Question

在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，取一把含30°角的三角板，把30°角的顶点放在BC上一点D处，三角板绕点D旋转．
（1）当三角板的两边分别交边AB、AC于点E、F时，求证：△BDE∽△CFD．
（2）当三角板的两边分别交边AB、边CA的延长线于点E、F时，上述结论还成立吗？（直接回答，无需证明）
（3）当D点的位置是BC的中点时，连接E，F，△BDE与△DFE是否相似？并予以证明．
（4）若三角板的一边过点A（E与A重合），另一边与AC交于F，设BD=x，AF=y，求y关于x的函数解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）若要证明△BDE∽△CFD，只要找到两对相等的角即可，利用等腰三角形的性质和30°角的特点证明即可；
（2）△BDE与△CFD相似，证明思路和（1）相同；
（3）△BDE与△DFE相似，根据由一对角相等以及夹边的比值相等的两个三角形相似证明即可；
（4）由（1）可知△ABD∽△DFC，得到，根据勾股定理求出底边BC的长，因为BD=x，所以CD=BC-x，AF=y，则CF=8-y，代入比例式整理即可得到y关于x的函数解析式．
解答：（1）证明：∵AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°
∴∠BDE+∠BED=150°，
∵∠EDF=30°，
∴∠BDE+∠CDF=150°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；

（2）解：△BDE与△CFD相似，理由如下：
∵AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BDE+∠BED=150°，
∵∠EDF=30°，
∴∠BDE+∠CDF=150°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；

（3）△BDE与△DFE相似，理由如下：
∵△BDE∽△CFD，
∴，
∵BD=CD，
∴，
∴，
又∵∠B=∠FDC=30°，
∴△BDE∽△DFE；

（4）由（1）可知△ABD∽△DFC，
∴，
∵AB=AC=8，
∴BC=8，
∵BD=x，AF=y，
∴CD=8-x，CF=8-y，
∴，
∴y=x²-x+8．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，以及由相似三角形的性质：对应边的比值相等得到边长之间的函数关系，题目的综合性不小，难度中等．