Question

（2011福建龙岩，25， 14分)如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°， AB=6，AD=9，
点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EF∥AC，交AD于点F(当E运
动到C时，EF与AC重合巫台)．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，
△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。
(1) 求CD的长及∠1的度数；
(2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值；
(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?

Answer 1

（1）CD= ∠1=30°

（2）若点G恰好在BC上，
则有GE=DE=x，EC=
∵∠1=30°，∴∠FED=60°
∴∠GEF=60°
∴∠GEC=60°
∴GE=2CE
∴
∴
（3）∵△EFG≌△EFD

（1）当时，随着x的增大，面积增大，此时△的面积就是重叠的面积，当时，达到最大值，为。
（2）当，△EFG就有一部分在梯形外，如图3，
∵GE=DE=x，EC=
易求，∴
∴NG=
∴
此时
=
当时，
综上所述。当时，。解析:
（1）过A做梯形的高，构造直角三角形，顺用、逆用三角函数计算求解线段长和角度。
（2）化动为静，抓住不同直角三角形边角间的数量关系（从不同角度表示有特殊关系的线段），建立等量关系，解方程。
（3）分情况讨论，求出x不同取值范围下二次函数式的最值，比较得出。