Question

如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF＝AE．
（1）求证：≌．
（2）把向左平移，使与重合，得，交于点．请判断AH与ED的位置关系，并说明理由.
（3）求的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）AH⊥ED．（3）.

试题分析：（1）根据正方形的性质推出∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，根据SAS即可证出答案；
（2）AH⊥ED，根据正方形的性质和平移的性质可证明△ADE≌△CDF，所以得到∠EDF=90°．再由已知条件AH∥DF，利用平行线的性质可证明∠EGH=90°，即垂直成立．
（3）利用勾股定理求出DE的长，再根据三角形的面积公式表示出△EAD的面积即AE•AD或ED•AG，由已知数据即可求出AG的长．
试题解析：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，
∴∠DCF=90°=∠DAE，
∵CF=AE，
∴△ADE≌△CDF．
（2）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=AD，∠DAB=∠B=90°，
∵E为AB中点，H为BC的中点，
∴AE=BH，
∴△DAE≌△ABH，
∴∠EDA=∠BAH，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠AED+∠BAH=90°，
∴∠AGE=180°-90°=90°，
∴AH⊥ED．
（3）在△EAD中，由勾股定理得：DE=，
由三角形的面积公式得：AE×AD=DE×AG，
∴1×2=×AG，
∴AG=.