Question

如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG△ABE；
（2）连接FC，求证：∠FCN=45°；
（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接DG， ∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴DA=BA，EA=GA， ∴∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠DAG=∠BAE， ∴△ADG△ABE； （2）证明：如图2，过F作BN的垂线，设垂足为H， ∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠HEF， ∵AE=EF， ∴△ABE△EHF， ∴AB=EH，BE=FH， ∴AB=BC=EH， ∴BE+EC=EC+CH， ∴CH=BE=FH， ∴∠FCN=45°； （3）解：如图3，在AB上取AQ=BE，连接QD， ∵AB=AD， ∴△DAQ△ABE， ∵△ABE△EHF， ∴△DAQ△ABE△ADG， ∴∠GAD=∠ADQ， ∴AG、QD平行且相等， 又∵AG、EF平行且相等， ∴QD、EF平行且相等， ∴四边形DQEF是平行四边形． ∴在AB边上存在一点Q， 使得四边形DQEF是平行四边形．

图1 图2 图3