题目内容

如图，点P为x轴正半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数y= $数学公式$ 的图象于点A，交函数y= $数学公式$ 的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交y= $数学公式$ 于点C，连接AC．
（1）当点P的坐标为（1，0）时，求△ABC的面积；
（2）当点P的坐标为（1，0）时，在y轴上是否存在一点Q，使A、C、Q三点为顶点的三角形△QAC为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）请你连接QA和OC，当点P的坐标为（t，0）时，△ABC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．

解：（1）根据题意，得点A、B的横坐标和点P的横坐标相等，即为1．
∵点A在函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）的双曲线上，
∴A点纵坐标是：y_A= $\text{[math]}$ =1，
∵点B在函数 $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上，
∴B点的纵坐标是：y_B= $\text{[math]}$ =4．
∵BC∥x轴，
∴点C、B的纵坐标相等，即y_B=y_C=4．
∵点C在函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）的双曲线上，
∴C点横坐标是：x_C= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AB=3，BC= $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•BC= $\text{[math]}$ ×3× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即△ABC的面积是 $\text{[math]}$ ；

（2）设Q（0，y）．由（1）知，A（1，1），C（ $\text{[math]}$ ，4）．
①当以AC为底时，QA=QC，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得，y= $\text{[math]}$ ，即Q₁（0， $\text{[math]}$ ）；
②当以AQ为底时，QC=AC，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得，y=4+ $\text{[math]}$ 或y=4- $\text{[math]}$ ，即Q₂（0，4+ $\text{[math]}$ ），Q₃（0，4- $\text{[math]}$ ）；
③当以CQ为底时，QA=AC，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得，y= $\text{[math]}$ ，或y= $\text{[math]}$ ，即Q₄（0， $\text{[math]}$ ），Q₅（0， $\text{[math]}$ ）；
综上所述，符合条件的点Q的坐标分别是：Q₁（0， $\text{[math]}$ ），Q₂（0，4+ $\text{[math]}$ ），Q₃（0，4- $\text{[math]}$ ），Q₄（0， $\text{[math]}$ ），Q₅（0， $\text{[math]}$ ）；

（3）△ABC的面积不随t的值的变化而变化．理由如下：
∵根据（1）中的思路，可以分别求得点A（t， $\text{[math]}$ ），B（t， $\text{[math]}$ ），C（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
∴AB= $\text{[math]}$ ，BC= $\text{[math]}$ t，
∴△ABC的面积是 $\text{[math]}$ ．
∴△ABC的面积不会随着t的变化而变化．
分析：（1）根据点P的坐标和函数的解析式可以分别求得点A、B、C的坐标，进一步求得三角形的面积；
（2）分类讨论：①以AC为底的等腰△AOQ；②以AQ为底的等腰△AOQ；③以QC为底的等腰△AOQ；
（3）根据（1）中的方法进行求解，看最后的结果是否为一个定值即可．
点评：本题考查了反比例函数综合题．解答此题时要能够根据解析式熟练地求得各个点的坐标，根据坐标计算相关线段的长度．