Question

如图，点P为x轴正半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数y=

1

x

的图象于点A，交函数y=

4

x

的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交y=

1

x

于点C，连接AC．
（1）当点P的坐标为（1，0）时，求△ABC的面积；
（2）当点P的坐标为（1，0）时，在y轴上是否存在一点Q，使A、C、Q三点为顶点的三角形△QAC为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）请你连接QA和OC，当点P的坐标为（t，O）时，△ABC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据点P的坐标和函数的解析式可以分别求得点A、B、C的坐标，进一步求得三角形的面积；
（2）分类讨论：①以AC为底的等腰△AOQ；②以AQ为底的等腰△AOQ；③以QC为底的等腰△AOQ；
（3）根据（1）中的方法进行求解，看最后的结果是否为一个定值即可．

解答：解：（1）根据题意，得点A、B的横坐标和点P的横坐标相等，即为1．
∵点A在函数y=

1

x

（x＞0）的双曲线上，
∴A点纵坐标是：y_A=

1

1

=1，
∵点B在函数

4

x

（x＞0）的图象上，
∴B点的纵坐标是：y_B=

4

1

=4．
∵BC∥x轴，
∴点C、B的纵坐标相等，即y_B=y_C=4．
∵点C在函数y=

1

x

（x＞0）的双曲线上，
∴C点横坐标是：x_C=

1

yC

=

1

4

，
∴AB=3，BC=

3

4

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×3×

3

4

=

9

8

，即△ABC的面积是

9

8

；

（2）设Q（0，y）．由（1）知，A（1，1），C（

1

4

，4）．
①当以AC为底时，QA=QC，则

12+(y-1)2

=

( 1 4 )2+(y-4)2

，解得，y=

75

32

，即Q₁（0，

75

32

）；
②当以AQ为底时，QC=AC，即

( 1 4 )2+(y-4)2

=

(1- 1 4 )2+(1-4)2

，解得，y=4+

38

2

或y=4-

38

2

，即Q₂（0，4+

38

2

），Q₃（0，4-

38

2

）；
③当以CQ为底时，QA=AC，即

12+(y-1)2

=

(1- 1 4 )2+(1-4)2

，解得，y=

4+ 137

4

，或y=

4- 137

4

，即Q₄（0，

4+ 137

4

），Q₅（0，

4- 137

4

）；
综上所述，符合条件的点Q的坐标分别是：Q₁（0，

75

32

），Q₂（0，4+

38

2

），Q₃（0，4-

38

2

），Q₄（0，

4+ 137

4

），Q₅（0，

4- 137

4

）；

（3）△ABC的面积不随t的值的变化而变化．理由如下：
∵根据（1）中的思路，可以分别求得点A（t，

1

t

），B（t，

4

t

），C（

t

4

，

4

t

）．
∴AB=

3

t

，BC=

3

4

t，
∴△ABC的面积是

9

8

．
∴△ABC的面积不会随着t的变化而变化．

点评：本题考查了反比例函数综合题．解答此题时要能够根据解析式熟练地求得各个点的坐标，根据坐标计算相关线段的长度．