Question

【题目】在菱形中，对角线，交于点，为上点，且，为上点，为上点，且，并与相交于点．

求证：；

若，，求的长．（结果用表示）

Answer 1

【答案】证明见解析；（2）

【解析】

（1）由菱形性质得AC⊥BD，由已知得出∠CEB＝∠CBE，由MF⊥BE，得出∠BOE＝∠BFM，即可得出结论；

（2）作MP∥AC于BE交于点P，与OB交于点Q，由△BOE∽△MFB，得出∠EBO＝∠FMB，证出tan∠OCB＝，由平行线的性质得出∠MPB＝∠CEB＝∠CBE，∠MQN＝90°，，证出△MBP为等腰三角形，由等腰三角形的三线合一性质得出BF＝FP，∠PMF＝∠BMF＝∠PBQ，证得△PBQ∽△NMQ，由对应边成比例得出比例式即可求出结果．

) ∵、是菱形的对角线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

作与交于点，与交于点，如图所示：

由，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，，，

∴为等腰三角形，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴