题目内容
【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=
AB，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为θ．
（1）问题发现
①当θ=0°时，
= ；
②当θ=180°时，= ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决
①在旋转过程中，BE的最大值为 ；
②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为 ．
【答案】（1）①
；（2）详见解析；（3）①2
+2
+1或
﹣1.
【解析】分析：（1）①先判断出DE∥CB，进而得出比例式，代值即可得出结论；
②先得出DE∥BC，即可得出，
，再用比例的性质即可得出结论；
（2）先∠CAD=∠BAE，进而判断出△ADC∽△AEB即可得出结论；
（3）分点D在BE的延长线上和点D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）结论即可得出CD．
详解：（1）①当θ=0°时，
在Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，AB=2，
∵AD=DE=
AB=，
∴∠AED=∠A=45°，
∴∠ADE=90°，
∴DE∥CB，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：，
②当θ=180°时，如图1，
∵DE∥BC，
∴，
∴
，
即：
，
∴
，
故答案为：；
（2）当0°≤θ＜360°时，
的大小没有变化，
理由：∵∠CAB=∠DAE，
∴∠CAD=∠BAE，
∵
，
∴△ADC∽△AEB，
∴
；
（3）①当点E在BA的延长线时，BE最大，
在Rt△ADE中，AE=AD=2，
∴BE最大=AB+AE=2+2；
②如图2，
当点E在BD上时，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，AB=2，AD=，根据勾股定理得，BD=
=
，
∴BE=BD+DE=+，
由（2）知，，
∴CD=
+1，
如图3，
当点D在BE的延长线上时，
在Rt△ADB中，AD=，AB=2，根据勾股定理得，BD==，
∴BE=BD﹣DE=﹣，
由（2）知，，
∴CD=
﹣1．
故答案为： +1或﹣1．
