Question

如图，已知直线y=

2

5

x+2与x轴交于点A，交y轴于C．抛物线y=ax²+4ax+b经过A、C两点，抛物线交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△BPC的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点Q在抛物线上，且有△AQC和△BQC面积相等，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式令y=0，求出点A的坐标，令x=0求出点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据三角形的内心在三角形内角平分线上，取点B关于y轴的对称点B′，连接CB′，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BCO=∠B′CO，从而得到△BPC的内心在y轴上，利用待定系数法求出直线B′C的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标；
（3）①分点Q在x轴上方时，根据平行线间的距离相等可得当CQ∥AB时，△AQC和△BQC面积相等，然后根据点Q与点C的纵坐标相等，利用抛物线解析式列式计算即可得解；②点Q在x轴下方时，设CQ与x轴相交于点D，根据△AQC和△BQC面积相等列式求出AD=BD，然后求出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，与抛物线联立求解即可得到点Q的坐标．

解答：解：（1）令y=0，则

2

5

x+2=0，
解得x=-5，
所以，点A的坐标为（-5，0），
令x=0，则y=2，
所以，点C的坐标为（0，2），
∵抛物线y=ax²+4ax+b经过A、C两点，
∴

25a+4•(-5)a+b=0 b=2

，
解得

a=- 2 5 b=2

，
∴抛物线的解析式为y=-

2

5

x²-

8

5

x+2；

（2）令y=0，则-

2

5

x²-

8

5

x+2=0，
整理得，x²+4x-5=0，
解得x₁=-5，x₂=1，
∴点B的坐标为（1，0），
取点B关于y轴的对称点B′（-1，0），连接CB′，
则∠BCO=∠B′CO，
∴△BPC的内心在y轴上，
设直线B′C的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-k+b=0 b=2

，
解得

k=2 b=2

，
所以，直线B′C的解析式为y=2x+2，
联立

y=2x+2 y=- 2 5 x2- 8 5 x+2

，
解得

x1=0 y1=2

（为点C坐标，舍去），

x2=-9 y2=-16

，
∴点P的坐标为（-9，-16）；


（3）①分点Q在x轴上方时，当CQ∥AB时，△AQC和△BQC面积相等，
此时，点Q的纵坐标与点C的纵坐标相同，都是2，
∴-

2

5

x²-

8

5

x+2=2，
整理得，x²+4x=0，
解得x₁=-4，x₂=0，
∴点Q的坐标为（-4，2），
②点Q在x轴下方时，设CQ与x轴相交于点D，
则S_△AQC=

1

2

AD•|y_C-y_Q|，S_△BQC=

1

2

BD•|y_C-y_Q|，
∵△AQC和△BQC面积相等，
∴AD=BD，
∴点D的坐标为（-2，0），
设直线CD的解析式为y=mx+n（m≠0），
则

-2m+n=0 n=2

，
解得

m=1 n=2

，
∴直线CD的解析式为y=x+2，
联立

y=x+2 y=- 2 5 x2- 8 5 x+2

，
解得

x1=0 y1=2

（为点C坐标，舍去），

x2=- 13 2 y2=- 9 2

，
∴点Q的坐标为（-

13

2

，-

9

2

），
综上所述，抛物线上存在点Q（-4，2）或（-

13

2

，-

9

2

），使△AQC和△BQC面积相等．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴的交点的求解方法，待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式，三角形的内心的性质，三角形的面积，难点在于（3）要分情况讨论并判断出CQ与AB的交点为AB的中点．