Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）．

【解析】

（1）过点O作OM⊥AB于M，证明OM=圆的半径OD即可；

（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，得到四边形OMBN是矩形，在直角△OBM中利用三角函数求得OM和BM的长，进而求得BN和ON的长，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，则BF即可求解．

解：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M．

∵⊙O与AC相切于点D，

∴OD⊥AC，

∴∠ADO=∠AMO=90°．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠DAO=∠MAO，

∴OM=OD，

∴AB与⊙O相切；

（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．

∵O是BC的中点，

∴OB=2．在直角△OBM中，∠MBO=60°，

∴∠MOB=30°， BM=OB=1，

OM=BM =，

∵BE⊥AB，

∴四边形OMBN是矩形，

∴ON=BM=1，BN=OM=．

∵OF=OM=，由勾股定理得NF=．

∴BF=BN+NF=．