Question

如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．
求证：K是线段MN的中点．

Answer 1

证明：∵EF截△PMN，
则
∵BC截△PAE，
则，
∴即有，
所以，
∵AD截△PCF，
则，
即，∴
因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP-AC，由（3），（4）得，
，
即，
所以由（1）得NK=KM，即K是线段MN的中点．
分析：根据题意，EF截△PMN，则；BC截△PAE，则；所以．而AD截△PCF，则，即，∴，因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP-AC，由（3），（4）得，，即，所以由（1）得NK=KM，即K是线段AM的中点．
点评：本题考查了线段截三角形所得的线段的比为定值．以及比例的性质．