(2012•海珠区一模)如图1.在△ABC中.AB=BC=5.AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的.连接AE.AC.BE.且AC和BE相交于点O．(1)求证:四边形ABCE是菱形,(2)如图2.P是线段BC上一动点.连接PO并延长交线段AE于点Q.过Q作QR⊥BD交BD于R．①四边形PQED的面积是否为定值?若是.请求出其值,若不是.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2012•海珠区一模）如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC、BE，且AC和BE相交于点O．
（1）求证：四边形ABCE是菱形；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，过Q作QR⊥BD交BD于R．
①四边形PQED的面积是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由；
②以点P、Q、R为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形是否可能相似？若可能，请求出线段BP的长；若不可能，请说明理由．

分析：（1）利用平移的性质以及菱形的判定得出即可；
（2）①首先过E作EF⊥BD交BD于F，则∠EFB=90°，证出△QOE≌△POB，利用QE=BP，得出四边形PQED的面积为定值；
②当∠QPR=∠BCO时，△PQR∽△CBO，此时有OP=OC=3，过O作OG⊥BC交BC于G，得出△OGC∽△BOC，利用相似三角形的性质得出CG的长，进而得出BP的长．

解答：

（1）证明：∵△ABC沿BC方向平移得到△ECD，
∴EC=AB，AE=BC，
∵AB=BC，
∴EC=AB=BC=AE，
∴四边形ABCE是菱形；

（2）①四边形PQED的面积是定值，理由如下：
过E作EF⊥BD交BD于F，则∠EFB=90°，
∵四边形ABCE是菱形，
∴AE∥BC，OB=OE，OA=OC，OC⊥OB，
∵AC=6，
∴OC=3，
∵BC=5，
∴OB=4，sin∠OBC=

，
∴BE=8，
∴EF=BE•sin∠OBC=8×

，
∵AE∥BC，
∴∠AEO=∠CBO，四边形PQED是梯形，
在△QOE和△POB中

∠AEO=∠CBO

OE=OB

∠QOE=∠POB

，
∴△QOE≌△POB，
∴QE=BP，
∴S梯形PQED=

(QE+PD)×EF
=

（BP+DP）×EF
=

×BD×EF
=

×2BC×EF
=BC×EF
=5×

=24；

②△PQR与△CBO可能相似，
∵∠PRQ=∠COB=90°，∠QPR＞∠CBO，
∴当∠QPR=∠BCO时，△PQR∽△CBO，此时有OP=OC=3．
过O作OG⊥BC交BC于G．
∵∠OCB=∠OCB，∠OGC=∠BOC，
∴△OGC∽△BOC，
∴CG：CO=CO：BC，
即CG：3=3：5，
∴CG=

，
∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定、全等三角形的判定以及梯形面积求法等知识，根据相似三角形的判定得出△PQR∽△CBO，进而得出△OGC∽△BOC是解题关键．