Question

【题目】对于一个三角形，设其三个内角度数分别为，和，若x，y，z满足，我们定义这个三角形为美好三角形.

(1)△ABC中，若，，则△ABC (填”是”或”不是”)美好三角形;

(2)如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，，，⊙O直径为，求证：△ABC为美好三角形;

(3)已知△ABC为美好三角形，，求的度数.

Answer 1

【答案】（1）不是；（2）见解析；（3）∠C＝78°或72°

【解析】

（1）利用美好三角形的定义得出△ABC的形状进而求出即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC的形状进而得出答案；
（3）利用美好三角形的定义进而分别得出∠C的度数．

（1）解：∵△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，

∴∠C＝60°

∵402+602≠802，

∴△ABC不是美好三角形；

故答案为：不是；

（2）证明：连接OA、OC，

∵AC＝2，OA＝OC＝，

∴△OAC是直角三角形，即∠AOC＝90°，

∴∠B＝45°，

∵∠C＝60°，

∴∠A＝75°，

∵即三个内角满足关系：452+602＝5625＝752，

∴△ABC是美好三角形；

（3）解：设∠C＝x°，则∠B＝（150﹣x）°，

若∠C为最大角，则x2＝（150﹣x）2+302，

解得x＝78，

若∠B最大角，则（150﹣x）2＝x2+302，

解得x＝72，

综上可知，∠C＝78°或72°