Question

在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的关系解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！

（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由抛物线过点，，则

　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　              

 解这个方程组，得 ．

　　　　　　∴二次函数的关系表达式为．            

        （2）设点P坐标为，则．

             连接，作轴于M，轴于N．

            ，，．

            当时，，所以．　　 

　　　　　　

     

     

                                                           

             ∵＜0，

             ∴函数有最大值．                         

             当时，有最大值．

             此时   

             存在点，使的面积最大．                

         （3）点．　　　　             

         （4）点．                                  

         （5）点