Question

如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，AB=25，顶点C在y轴的负半轴上，tan∠ACO=

3

4

，点P在线段OC上，且PO、PC的长（PO＜PC）是关于x的方程x²-（2k+4）x+8k=0的两根．
（1）求AC、BC的值；
（2）求P点坐标；
（3）在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴∠ACO=∠ABC，
∴tan∠ABC=-

3

4

，
Rt△ABC中，设AC=3a，BC=4a，
则AB=5a，5a=25，
∴a=5，
∴AC=15，BC=20．

（2）∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

OC•AB，
∴OC=12∴PO+PC=4+2k=12，
∴k=4，
∴方程可化为x²-12x+32=0，解得x₁=4，x₂=8；∵PO＜PC，
∴PO=4，∴P（0，-4）．

（3）存在，直线PQ解析式为：y=-

4

3

x-4或y=-

4

27

x-4，
说明：如果学生有不同于本参考答案的解题方法，只要正确，可参照本评分标准，酌情给分．