Question

如图：已知正方形ABCD中，点E，F 分别在线段AB和AD上，①若CE⊥BF，垂足为M，BE=AF吗？为什么？②反之，若已知BE=AF，能得到CE⊥BF吗？为什么？

Answer 1

分析：①首先证明∠ECB=∠ABF，再证明△ABF≌△BCE即可得到BE=AF；
②首先证明△ABF≌△BCE可得∠ECB=∠ABF，进而得到∠BCE+∠FBC=90°，继而得到EC⊥BF．

解答：解：①BE=AF；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
∴∠CBM+∠ABF=90°，
∵CE⊥BF，
∴∠ECB+∠MBC=90°，
∴∠ECB=∠ABF，
在△ABF和△BCE中，

∠CBE=∠A=90° AB=BC ∠ABF=∠BCE

，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BE=AF；

②能得到CE⊥BF；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
在△ABF和△BCE中，

AF=BE ∠A=∠EBC AB=BC

，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴∠ECB=∠ABF，
∵∠CBM+∠ABF=90°，
∴∠BCE+∠FBC=90°，
∴EC⊥BF．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．