Question

（2013•翔安区一模）抛物线y=x²+（b-1）x+c经过点P（-1，-2b）．
（1）求b+c的值；
（2）若b＜3，过点P作直线PA⊥y轴于点A，交抛物线于另一点B，且PA=2PB，求b的值和抛物线的最小值．

Answer 1

分析：（1）将P（-1，-2b）代入y=x²+（b-1）x+c 中求出即可；
（2）首先得出x=

1-b

2

＞-1则点P（-1，-2b）在对称轴的左侧，由题意知，点P、B关于对称轴对称，利用PA=2PB，则PA=4PC
故4×（

1-b

2

+1 ）≒1，求出c，b的值，即可得出二次函数最值．

解答：解：（1）将P（-1，-2b）代入y=x²+（b-1）x+c 中，
-2b=1﹢1-b﹢c，
∴b﹢c=-2；

（2）抛物线y=x²+（b-1）x+c的对称轴x=

1-b

2

，
∵b＜3，∴x=

1-b

2

＞-1
∴点P（-1，-2b）在对称轴的左侧，由题意知，点P、B关于对称轴对称，
设PA与对称轴交于点C，则PC=CB．
∵PA=2PB，∴PA=4PC，∴4×（

1-b

2

+1 ）≒1，
解得b=

5

2

，
∴c=-2-

5

2

=-

9

2

，
∴y=x²+

3

2

x-

9

2

=（x+

3

4

）²-

81

16

，
∴当x=-

3

4

 时，y有最小值为-

81

16

．

点评：此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数的对称性，根据已知结合对称性得出b的值是解题关键．