Question

如图．在四边形ABCD中，BD平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=∠C。

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若DC=12，求AD的长。

Answer 1

解：（1）证明：∵∠ABC=120°，∠C=60°，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴AB∥EC，即AB∥ED，
又∵∠C=60°，∠E=∠C=30°，∠BDC=30°，
∴∠E=∠BDC，
∴AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）由（1），AB∥DC，
∴四边形ABCD是梯形，
又∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°，
∴∠ADC=∠BCD=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴BC=AD，
在△BCD中，∠C=30°，∠BCD=60°，
∴∠DBC=90°，
又已知DC=12，
∴AD=BC=DC=6。