Question

某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为10米．当x等于多少米时，窗户的透光面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析：窗户的透光面积就是外形面积=半圆面积+矩形面积，半圆面积易求，矩形的长为2x，根据材料总长用含x的式子表示宽，再表示出矩形面积，从而得出窗户的面积表达式，运用函数性质求最大值．

解答：解：设窗户上半部半圆的半径为x（m），下半部矩形的宽为y（m），窗户面积为S（m²），
则4y+6x+πx=10，y=

10-6x-πx

4

∵S_半圆=

1

2

πx²，
S_矩形=2x•

10-6x-πx

4

=-3x2-

1

2

πx2+5x
S=S_半圆+S_矩形
=-3x²+5x
=-3[（x-

5

6

）²-

25

36

]
=-3（x-

5

6

）²+

25

12

．
∵-3＜0，
∴窗户透光面积有最大值．当x=

5

6

时，
S_最大=

25

12

（m²），
所以当窗户的半圆半径为

5

6

米时，窗户的透光面积最大，最大面积是

25

12

平方米．

点评：此题的关键在表示矩形的宽，涉及周长的有关计算问题，是关于周长、面积计算的综合题．