Question

用总长为32m的篱笆墙围成一个扇形的花园．
（1）当扇形花园的半径为6m时，求扇形花园的面积；
（2）设扇形花园的半径为x（m），面积为y（m²），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当扇形花园的半径为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？此时，这个扇形的圆心角约是多少度？（精确到0.1度）

Answer 1

解：（1）∵扇形花园的半径为6m，
∴扇形的弧长=32-2×6=20，
∴扇形花园的面积=×6×20=60（cm²）；

（2）∵扇形花园的半径为x，
∴扇形的弧长=32-2x，
∴y=•x•（32-2x）
=-x²+16x （0＜x＜16）；

（3）y=-x²+16x
=-（x-8）²+64，
∵a=-1＜0，
∴当x=8时，y取最大值64；
∴=64，解得n=114.6度．
所以这个扇形的圆心角=约为114.6度．
分析：（1）先计算出弧长为20cm，然后根据扇形的面积根据计算即可；
（2）先得到扇形的弧长=32-2x，然后根据扇形的面积得到y=•x•（32-2x），整理即可；
（3）把y=-x²+16x 配成顶点式y=-（x-8）²+64，然后根据二次函数的最值问题进行回答即可，最后根据扇形的面积公式计算此时扇形的圆心角．
点评：本题考查了二次函数的应用：先得到二次函数的顶点式y=a（x-h）²+k，当a＜0，x=h时，y有最大值k；当a＜0，x=h时，y有最小值k．也考查了扇形的面积公式．