Question

如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB₁C的两个顶点，以它的对角线OB₁为一边作正方形OB₁B₂C₁，以正方形OB₁B₂C₁的对角线OB₂为一边作正方形OB₂B₃C₂，写出点B₃的坐标为

（2，-2）

；再以正方形OB₂B₃C₂的对角线OB₃为一边作正方形OB₃B₄C₃，…依此规律作下去，点B₂₀₁₃的坐标为

（-2¹⁰⁰⁶，-2¹⁰⁰⁶）

．

Answer 1

分析：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以

2

，所以可求出从B到B₃的后变化的坐标，再求出B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、B₇、B₈、B₉的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B₂₀₁₃的坐标．

解答：解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以

2

，
∵从B到B₃经过了3次变化，
∵45°×3=135°，1×（

2

）³=2

2

．
∴点B₃所在的正方形的边长为2

2

，点B₃位置在第四象限．
∴点B₃的坐标是（2，-2）；
可得出：B₁点坐标为（1，1），
B₂点坐标为（0，2），
B₃点坐标为（2，-2），
B₄点坐标为（0，-4），B₅点坐标为（-4，-4），
B₆（-8，0），B₇（-8，8）
B₈（0，16），B₉（16，16），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的

2

倍，
∵2013÷8=251…5，
∴B₂₀₁₃的纵横坐标符号与点B₅的相同，纵横坐标都是负值，
∴B₂₀₁₃的坐标为（-2¹⁰⁰⁶，-2¹⁰⁰⁶）．
故答案为：（2，-2），（-2¹⁰⁰⁶，-2¹⁰⁰⁶）．

点评：本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的

2

倍，此题难度较大．