Question

如图，△ABC为锐角三角形，P，Q为边BC上的两点，△ABP和△ACQ的外接圆圆心分别为O₁和O₂．试判断BO₁的延长线与CO₂的延长线的交点D是否可能在△ABC的外接圆上，并说明理由．

Answer 1

解：答案是否定的，即BO₁的延长线与CO₂的
延长线的交点D不可能在△ABC的外接圆上．
如图，设直线BO₁与直线CO₂的交点为D，
则，
同理∠O₂CQ=90°-∠CAQ，
所以∠O₁BP+∠O₂CQ=180°-∠BAP-∠CAQ．
故∠BDC=∠BAP+∠CAQ．
由于点P，Q为边BC上的两点，所以∠BAP+∠CAQ≠∠BAC．
因此，点D不在△ABC的外接圆上．
分析：延长线的交点D不可能在△ABC的外接圆上，根据题意可得出∠O₂CQ=90°-∠CAQ，则∠BDC=∠BAP+∠CAQ，由于点P，Q为边BC上的两点，所以∠BAP+∠CAQ≠∠BAC．从而可得出，点D不在△ABC的外接圆上．
点评：本题考查了三角形的外接圆与外心，是一道综合题，难度较大．