Question

如图，已知反比例函数y=

k

x

(k≠0)的图象经过点（

1

2

，8），直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．

Answer 1

分析：（1）把点（

1

2

，8）代入反比例函数y=

k

x

(k≠0)，确定反比例函数的解析式为y=

4

x

；再把点Q（4，m）代入反比例函数的解析式得到Q的坐标，然后把Q的坐标代入直线y=-x+b，即可确定b的值；
（2）把反比例函数和直线的解析式联立起来，解方程组得到P点坐标；对于y=-x+5，令y=0，求出A点坐标，然后根据S_△OPQ=S_△AOB-S_△OBP-S_△OAQ进行计算即可．

解答：解：（1）把点（

1

2

，8）代入反比例函数y=

k

x

(k≠0)，得k=

1

2

×8=4，
∴反比例函数的解析式为y=

4

x

；
又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上，
∴4•m=4，
解得m=1，即Q点的坐标为（4，1），
而直线y=-x+b经过点Q（4，1），
∴1=-4+b，
解得b=5，
∴直线的函数表达式为y=-x+5；

（2）联立

y=-x+5 y= 4 x

，
解得

x=4 y=1

或

x=1 y=4

，
∴P点坐标为（1，4），
对于y=-x+5，令y=0，得x=5，
∴A点坐标为（5，0），
∴S_△OPQ=S_△AOB-S_△OBP-S_△OAQ
=

1

2

×5×5-

1

2

×5×1-

1

2

×5×1
=

15

2

．

点评：本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式以及求两个图象交点的方法（转化为解方程组）；也考查了利用面积的和差求图形面积的方法．