Question

如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AD=2，EC=，∠BAC=60°，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∴OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE．
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC．
∴∠OEA=∠EAC，
∴∠OAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC．

（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
∵∠BAC=60°，
∴∠OAE=∠EAC=30°．
∴AB=2BE．
∵AC⊥PQ，
∴∠ACE=90°，
∴AE=2CE．
∵CE=，
∴AE=2．
设BE=x，则AB=2x，由勾股定理，得
x²+12=4x²，
解得：x=2．
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2．
分析：（1）连接OE，根据切线的性质就可以得出OE⊥PQ，就可以得出OE∥AC，可以得出∠BAE=∠CAE而得出结论；
（2）连接BE，由AE平分∠BAC就可以得出∠BAE=∠CAE=30°，就可以求出AE=2，在Rt△ABE中由勾股定理可以求出AB的值，从而求出结论．
点评：本题考查了角平分线的判定及性质的运用，切线的性质的运用，30度角的直角三角形的性质的运用，平行线的判定及性质的运用，解答时合理运用切线的性质是关键．